5.5 Mínimos cuadrados

 Su expresión general se basa en la ecuación de una recta y = mx + b. Donde m es la pendiente y b el punto de corte, y vienen expresadas de la siguiente manera:

Σ es el símbolo sumatoria de todos los términos, mientas (x, y) son los datos en estudio y n la cantidad de datos que existen.

El método de mínimos cuadrados calcula a partir de los N pares de datos experimentales (x, y), los valores m y b que mejor ajustan los datos a una recta. Se entiende por el mejor ajuste aquella recta que hace mínimas las distancias d de los puntos medidos a la recta.

Teniendo una serie de datos (x, y), mostrados en un gráfico o gráfica, si al conectar punto a punto no se describe una recta, debemos aplicar el método de mínimos cuadrados, basándonos en su expresión general:

Cuando se haga uso del método de mínimos cuadrados se debe buscar una línea de mejor ajuste que explique la posible relación entre una variable independiente y una variable dependiente. En el análisis de regresión, las variables dependientes se designan en el eje y vertical y las variables independientes se designan en el eje x horizontal. Estas designaciones formarán la ecuación para la línea de mejor ajuste, que se determina a partir del método de mínimos cuadrados.

5.4 REGRESIÓN Y CORRELACIÓN

La regresión y la correlación son dos técnicas estrechamente relacionadas y comprenden una forma de estimación.

En forma más especifica el análisis de correlación y regresión comprende el análisis de los datos muestrales para saber que es y como se relacionan entre si dos o mas variables en una población. El análisis de correlación produce un número que resume el grado de la correlación entre dos variables; y el análisis de regresión da lugar a una ecuación matemática que describe dicha relación.

El análisis de correlación generalmente resulta útil para un trabajo de exploración cuando un investigador o analista trata de determinar que variables son potenciales importantes, el interés radica básicamente en la fuerza de la relación. La correlación mide la fuerza de una entre variables; la regresión da lugar a una ecuación que describe dicha relación en términos matemáticos

Los datos necesarios para análisis de regresión y correlación provienen de observaciones de variables relacionadas

En estadística la regresión lineal o ajuste lineal es un modelo matemático usado para aproximar la relación de dependencia entre una variable dependiente Y, las variables independientes X_i y un término aleatorio. Este modelo puede ser expresado como:

Donde:

variable dependiente, explicada o regresando.

: variables explicativas, independientes o regresores.

: parámetros, miden la influencia que las variables explicativas tienen sobre el regrediendo.

donde  es la intersección o término "constante", las  son los parámetros respectivos a cada variable independiente, y  es el número de parámetros independientes a tener en cuenta en la regresión. La regresión lineal puede ser contrastada con la regresión no lineal.

5.3 Interpolación segmentaria

Esta interpolación se llama interpolación segmentaria o interpolación por splines. La idea   central   es   que, en   vez   de   usar   un   solo   polinomio   para   interpolar   los   datos, podemos usar segmentos de polinomios y unirlos adecuadamente para formar nuestra interpolación. Cabe   mencionar   que, entre   todas, las   splines   cúbicas   han   resultado   ser   las     para aplicaciones como la mencionada anteriormente. Así pues, podemos decir de manera informal, que una función spline está formada por varios polinomios, cada uno definido en un intervalo y que se unen entre si bajo ciertas condiciones de continuidad

Interpolación Segmentaria Lineal

Este es el caso más sencillo. En él, vamos a interpolar una función f(x) de la que se nos dan un número N de pares (x, f(x)) por los que tendrá que pasar nuestra función polinómica P(x). Esta serie de funciones nuestras van a ser lineales, esto es, con grado 1: de la forma P(x) = ax + b.

Definiremos una de estas funciones por cada par de puntos adyacentes, hasta un total de (N-1)   funciones, haciéndolas pasar obligatoriamente por los puntos que van a determinarlas, es decir, la función P(x) será el conjunto de segmentos que unen nodos consecutivos; es por ello que nuestra función será continua en dichos puntos, pero no derivable en genera.

En este caso, los polinomios P(x) a través de los que construimos el Spline tienen grado 2. Esto quiere decir, que va a tener la forma P(x) = ax² + bx + c Como en la interpolación segmentaria lineal, vamos a tener N-1 ecuaciones (donde N son los puntos sobre los que se define la función). La interpolación cuadrática nos va a asegurar que la función que nosotros generemos a trozos con los distintos P(x) va ser continua, ya que para sacar las condiciones que ajusten el polinomio

idea central es que en vez de usar un solo polinomio para interpolar los datos,

podemos usar segmentos de polinomios y unirlos adecuadamente para formar nuestra

interpolación.

Cabe mencionar que entre todas, las splines cúbicas han resultado ser las más

adecuadas para aplicaciones como la mencionada anteriormente.

Así pues, podemos decir de manera informal, que una funcion spline está formada por

varios polinomios, cada uno definido en un intervalo y que se unen entre si bajo ciertas

condiciones de continuidad.

5.2 POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE

 El polinomio de interpolación de Lagrange, simplemente es una reformulación del polinomio de Newton que evita los cálculos de las diferencias divididas. Este se puede representar concretamente como:

donde:

donde: 

denota el "producto de".

Por ejemplo, la versión lineal (n = 1) es:

y la versión de segundo orden es:

al igual que en el método de Newton, la versión de Lagrange tiene un error aproximado dado por:

5. interpolación y ajuste de funciones 5.1 POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE NEWTON

Uno de estas formas de interpolación se denomina Polinomios de Interpolación de Newton, que trabaja directamente en la tabla obtenida mediante el proceso de Diferencias Divididas; En el desarrollo de estas diferencias finitas, se obtuvo en primer lugar las diferencias finitas ordinarias y luego las diferencias finitas divididas

Interpolación polinomial de Newton

Algunos casos: lineal, de segundo grado y de tercer grado

Ejemplo

Estimar ln 2 mediante interpolación lineal si ln1 = 0 y ln 6 = 1.791759 y ln 4 = 1.386294

Valor real ln 2 = 0.6931472

Error relativo porcentual = 33.3%

método más común que se usa para este propósito es la interpolación polinomial. Recuerde que la fórmula general para

un polinomio de n-ésimo grado e

4.3 INTEGRACIÓN MÚLTIPLE

A continuación se define el centro de masa para un sólido tridimensional como un punto p(x,y,z), donde las coordenadas de este punto se obtienen de las ecuaciones:

Sea B un recinto del espacio, tal que su densidad viene dada por la función p:R3→R, la cual es continua ∀(x,y,z)εB, entonces el centro de masa es un punto p(x,y,z), donde sus coordenadas son:

Ejemplo

1.- Encuentre el centro de masa de un sólido de densidad constante que esta acostado por el cilindro parabólico x=y^2 y los planos x=z,z=0 y x=1 ϵ={(x,y,z)-1≤y≤1,y^2≤x≤1,0≤z≤x}┤ Entonces, si la densidad es p(x,y,z)=p, la masa es:

Debido a la simetría de E y p respecto al plano xz, se puede decir de inmediato que Mxy=0 y por lo tanto, y=0, los otros momentos son:

4.2 INTEGRACIÓN NUMÉRICA

 Método del trapecio, método de Simpson 1/3 y 3/8

La regla del trapecio es un método de integración numérica, es decir, un método para calcular aproximadamente el valor de la integral definida.

La funcion f(x) aproximada por la funcion lineal ∫_a^bf(x)dx La regla se basa en aproximar el valor de la integral de f(x) por el de la funcion lineal que pasa a traves de los puntos (a,f(a))y (b,j(b)). La integral de esta es igual a ∫_a^b〖f(x)dx=(b-a)(f(a)+f(b))/2〗 y donde el termino error corresponde a -((b-a)^3)/12 f^2 (ε) Siendo ε un numero perteneciente al intervalo [a,b]

La regla del trapecio Compuesta o regla de los trapecios es una forma de aproximar una integral definida utilizando n trapecios. En la formulacion de este metodo se supone que f es continua y el eje x, desde x=a hasta x=b. primero se divide el intervalo [a,b] en nsubintervalos,cada uno de ancho ∆x=(b-a)/n.

Despues de realizar todo el proceso matematico se llega ala siguiente formula:

4.-DIFERENCIACIÓN E INTEGRACIÓN NUMÉRICA 4.1 DERIVACIÓN NUMÉRICA

 Consideramos una función f(x) de la cual se conoce un conjunto discreto de valores (x0, f0), (x1,f1),…,(xn,fn). Donde calcularemos la derivada de la función en un punto “x” que en principio no tiene coincidencia con alguno de los que figuran en los datos.

Estimamos la derivada utilizando formulas obtenidas mediante la aproximación de Taylor, denominadas “Formulas de diferencias finitas”.

La derivación numérica es una técnica de análisis numérico para calcular una aproximación a la derivada de una función en un punto utilizando los valores y propiedades de la misma.

Por definición la derivada de una función f(x) es:

Las aproximaciones numéricas que podamos hacer (para h>0) serán:

Diferencias hacia adelante

La aproximación de la derivada por este método entrega resultados aceptables con un determinado error. Para minimizar los errores se estima que el promedio de ambas entregas la mejor aproximación numérica al problema dado

Diferencias centrales.