5.3 Interpolación segmentaria

Esta interpolación se llama interpolación segmentaria o interpolación por splines. La idea   central   es   que, en   vez   de   usar   un   solo   polinomio   para   interpolar   los   datos, podemos usar segmentos de polinomios y unirlos adecuadamente para formar nuestra interpolación. Cabe   mencionar   que, entre   todas, las   splines   cúbicas   han   resultado   ser   las     para aplicaciones como la mencionada anteriormente. Así pues, podemos decir de manera informal, que una función spline está formada por varios polinomios, cada uno definido en un intervalo y que se unen entre si bajo ciertas condiciones de continuidad

Interpolación Segmentaria Lineal

Este es el caso más sencillo. En él, vamos a interpolar una función f(x) de la que se nos dan un número N de pares (x, f(x)) por los que tendrá que pasar nuestra función polinómica P(x). Esta serie de funciones nuestras van a ser lineales, esto es, con grado 1: de la forma P(x) = ax + b.

Definiremos una de estas funciones por cada par de puntos adyacentes, hasta un total de (N-1)   funciones, haciéndolas pasar obligatoriamente por los puntos que van a determinarlas, es decir, la función P(x) será el conjunto de segmentos que unen nodos consecutivos; es por ello que nuestra función será continua en dichos puntos, pero no derivable en genera.

En este caso, los polinomios P(x) a través de los que construimos el Spline tienen grado 2. Esto quiere decir, que va a tener la forma P(x) = ax² + bx + c Como en la interpolación segmentaria lineal, vamos a tener N-1 ecuaciones (donde N son los puntos sobre los que se define la función). La interpolación cuadrática nos va a asegurar que la función que nosotros generemos a trozos con los distintos P(x) va ser continua, ya que para sacar las condiciones que ajusten el polinomio

idea central es que en vez de usar un solo polinomio para interpolar los datos,

podemos usar segmentos de polinomios y unirlos adecuadamente para formar nuestra

interpolación.

Cabe mencionar que entre todas, las splines cúbicas han resultado ser las más

adecuadas para aplicaciones como la mencionada anteriormente.

Así pues, podemos decir de manera informal, que una funcion spline está formada por

varios polinomios, cada uno definido en un intervalo y que se unen entre si bajo ciertas

condiciones de continuidad.