2.4 metodo de interpolacion

 La Interpolación se refiere a estimar valores intermedios entre datos definidos por puntos, el método más común que se utiliza es la interpolación polinomial y Dados n+1 puntos, hay uno y sólo un polinomio de grado n que pasa a través de todos

Ejemplo 

Solo hay una línea recta que une a dos puntos 

Sólo hay una parábola que une un conjunto de tres puntos

Interpolación Lineal 

La forma más sencilla de interpolación consiste en unir dos puntos con una línea recta 

En donde f1 indica que se trata de un polinomio de interpolación de primer grado

En general, mientras menor sea el intervalo entre los datos, mejor será la aproximación

Interpolación Cuadrática 

Una mejor estimación se logra introduciendo una curvatura en una línea que une los puntos 

Si se tienen tres puntos como datos, estos pueden ajustarse en un polinomio de segundo grado

Para encontrar b 0 se evalúa la ecuación anterior con x = x 0 

 Sustituyendo y evaluando en x = x1

2.3 Método de aproximaciones sucesivas

 El método de las aproximaciones sucesivas es uno de los procedimientos más importantes para obtener raíces de las ecuaciones no lineales. Supongamos la ecuación

                    ƒ(x)= 0   

 Donde:

f(x): es una función continua que se desea determinar sus raíces reales.

Luego se sustituye f(x) por la ecuación equivalente        x = G(x)

Se estima el valor aproximado de la raíz x₀, y se sustituye en el segundo miembro de la ecuación para obtener x₁.                        x₁ = G(x₀)

Poniendo x₁ como argumento de G(x), obtendremos un nuevo número x₂, y así sucesivamente. Este proceso se puede sintetizar en la fórmula.

                                  x_n = G(x_n-1)   …(1)                 (n = 1,2,3…)

Si esta secuencia es convergente es decir, tiende hacia un límite, la solución r es:         r = lim_nà∞  x_n

El método de iteración se explica geométricamente mediante el gráfico de la figura. Se dibuja la curva y = G(x), y la recta y = x, bisectriz del primer cuadrante. La abscisa r del punto de intersección es la raíz buscada.

      La condición de finalización;

Primero, introducimos el valor inicial x, la primera aproximación, calculamos el valor del coseno de x, el valor devuelto (segunda aproximación), lo guardamos de nuevo en la variable x, y repetimos el proceso indefinidamente. El código aunque correcto, necesita terminarse en algún momento, cumpliendo una determinada condición. Cuando el valor absoluto del cociente entre la diferencia de dos términos consecutivos de la sucesión y uno de los términos, sea menor que cierta cantidad.                              

Volvemos a escribir el código incluyendo la condición de terminación y dentro de una función denominada raíz, a la que se le pasa el valor inicial y que devuelve la raíz buscada.

 

 El criterio de convergencia:

No todas las ecuaciones pueden resolverse por este método, solamente si el valor absoluto de la derivada de la función G(x) en la vecindad de la raíz r es menor que la unidad (la pendiente de la recta bisectriz del primer cuadrante es uno).

2.2 metodo de biseccion

Metodo de Biseccion

El método de la bisección o corte binario es un método de búsqueda incremental que divide el intervalo siempre en 2. Si la función cambia de signo sobre un intervalo, se evalúa el valor de la función en el punto medio. La posición de la raíz se determina situándola en el punto medio del subintervalo donde exista cambio de signo. El proceso se repite hasta mejorar la aproximación.


Algoritmo

Paso 1:
Elegir los valores iniciales Xa y Xb, de tal forma de que la función cambie de signo:
f(Xa)f(Xb) < 0

Paso 2:
La primera aproximación a la raíz se determina con la fórmula del punto medio de esta forma:

Paso 3:
Realizar las siguientes evaluaciones para determinar el intervalo de la raíz:
Si f(Xa)f(Xb) < 0, entonces la solución o raíz está entre Xa y Xpm, y Xb pasa a ser el punto medio (Xpm).
Si f(Xa)f(Xb) > 0, entonces la solución o raíz está fuera del intervalo entre Xa y el punto medio, y Xa pasa a ser el punto medio (Xpm).


Paso 4:
Si f(Xa)f(Xb) = 0 ó Error = | Xpm – Xpm – 1 | < Tolerancia

Donde Xpm es el punto medio de la iteración actual y Xpm – 1 es el punto medio de la iteración anterior.
Al cumplirse la condición del Paso 4, la raíz o solución es el último punto medio que se obtuvo.
Para el error relativo porcentual se tiene la siguiente fórmula:

2.1 Métodos de intervalos

 Los métodos de los intervalos utilizan una propiedad muy importante, consistente en el hecho del cambio de signo de una función en inmediaciones de una raíz. 

        Se llaman métodos de los intervalos porque se necesitan como mínimo dos valores que forman un intervalo que encierra la raíz.

MÉTODO GRÁFICO.

El método de la aproximación gráfica es el método más sencillo pero el menos indicado, debido a que solo vas a ir dando valores a la incógnita de una función hasta llegar al punto más cercano de la raíz.

Para este Método no hay formula alguna solo se utiliza la ecuación desea, por ejemplo f(x)= x³+2x²+10x-20=0, y se le daría valor a x hasta llegar al resultado deseado.

Aquí se pondrá un ejemplo de como llevar acabo la  aproximación gráfica:

f(x)= x³+2x²+10x-20=0

MÉTODO DE FALSA POSICIÓN.

Este método también conocido como Regula-Falsi corresponde a realizar una interpolación lineal entre los puntos a y , se busca, en la recta que pasa por los puntos [a; f(a)] y [b; f(b)], el punto c tal que su imagen f(c) se anule . En esta expresión aparece la relación (b - a)/ (f (b) – f(a)) que es equivalente al inverso de la derivada de primer orden de la función f. La ecuación resultante es:

 

 

 

La velocidad de convergencia de ese método es muy superior a la del método de la bisección cuando ambos puntos están lejos de la solución. Sin embargo su eficiencia ya no es tan evidente cuando un punto esta distante de la solución y el otro está muy cercano a ella. Cabe señalar además, de uno de los principales defectos de este método es que en la mayoría de los casos, uno de los límites del intervalo es utilizando como punto de apoyo y solamente el otro se ve afectado por el procedimiento de cálculo,  afectando así la velocidad de convergencia.

2. MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE ECUACIONES

 

Metodos de solucion de ecuaciones

Resolver un sistema de ecuaciones lineales es encontrar todas sus soluciones. Los métodos de igualación, sustitución y reducción consisten en encontrar y resolver para cada una de las incógnitas, se llega a través de una serie de pasos en los que las ecuaciones intermedias que se van obteniendo tienen menos incógnitas que las ecuaciones previas.

MÉTODO DE REDUCCIÓN;

Consiste en multiplicar ecuaciones por números y sumarlas para reducir el número de incógnitas hasta llegar a ecuaciones con una sola incógnita.

Multiplicar una ecuación por un número consiste en multiplicar ambos miembros de la ecuación por dicho número que no existe

Ejemplo

Multiplicando la primera ecuación por 3 y la segunda por -5, se obtienen las ecuaciones;

15x-9y=1;

-15x+20y= 5;

Al sumar ambas ecuaciones nos da la ecuación 11y=11y=1

La elección de los factores 3 y -5 se ha hecho precisamente para que la x desparezca al sumar ambas ecuaciones.

Sustituyendo y por 1 en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida, se obtiene:

5x-3=2

Que es otra ecuación con una sola incógnita y cuya solución es X=1;

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN;

Supongamos que un sistema de ecuaciones se puede poner de la forma. Entonces podemos despejar a en la segunda ecuación y sustituirla en la primera, para obtener la ecuación: (f – c). b + c = d.

Lo que se busca es que esta ecuación dependa de menos incógnitas que los de partida. Aquí a, b, c, d, e y f son expresiones algebraicas de las incógnitas del sistema

Ejemplo

Intentamos resolver: 4x+3y= 7

2x-y= 1

La primera ecuación se puede reescribir de la forma: 2.(2x)+3y=7

Por otra parte, de la segunda ecuación del sistema se deduce que: 2x=1+y

Sustituyendo 2x por 1+y en 2. (2x) +3y=7

Se tiene que 2. (1+y) +3y=7

Que es una ecuación con una sola incógnita y cuya solución es y=1.

Sustituyendo y por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida obtenemos una ecuación de una sola incógnita.

4+3y=7

Cuya solución es x=1

REGLA DE CRAMER

Esta regla es un método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales que se pueden utilizar cuando la matriz determinante A de coeficientes del sistema es cuadrada y de determinante de valor no nulo. El que A sea cuadrada significa que el número de incógnitas y el número de ecuaciones coincide.

En general: Xr = [Ai / | A |

Donde Ai es la matriz que se obtiene sustituyendo i décima columna de A por la matriz de los términos independientes B.

Ejemplo

Consideremos el sistema de ecuaciones:

x+y=2

x-y=0

En este sistema de ecuaciones lineales, la matriz A de los coeficientes es un matriz cuadrada y |A| = 1 1

[1 1 ] = -2 =/ 0.

Por lo tanto, podemos aplicar la regla de Cramer para resolver:

2 1

X= 0 -1 = -2 = 1

|A| -2

Y= 1 2

1 0 = -2 = 1

|A| -2