2. MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE ECUACIONES

 

Metodos de solucion de ecuaciones

Resolver un sistema de ecuaciones lineales es encontrar todas sus soluciones. Los métodos de igualación, sustitución y reducción consisten en encontrar y resolver para cada una de las incógnitas, se llega a través de una serie de pasos en los que las ecuaciones intermedias que se van obteniendo tienen menos incógnitas que las ecuaciones previas.

MÉTODO DE REDUCCIÓN;

Consiste en multiplicar ecuaciones por números y sumarlas para reducir el número de incógnitas hasta llegar a ecuaciones con una sola incógnita.

Multiplicar una ecuación por un número consiste en multiplicar ambos miembros de la ecuación por dicho número que no existe

Ejemplo

Multiplicando la primera ecuación por 3 y la segunda por -5, se obtienen las ecuaciones;

15x-9y=1;

-15x+20y= 5;

Al sumar ambas ecuaciones nos da la ecuación 11y=11y=1

La elección de los factores 3 y -5 se ha hecho precisamente para que la x desparezca al sumar ambas ecuaciones.

Sustituyendo y por 1 en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida, se obtiene:

5x-3=2

Que es otra ecuación con una sola incógnita y cuya solución es X=1;

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN;

Supongamos que un sistema de ecuaciones se puede poner de la forma. Entonces podemos despejar a en la segunda ecuación y sustituirla en la primera, para obtener la ecuación: (f – c). b + c = d.

Lo que se busca es que esta ecuación dependa de menos incógnitas que los de partida. Aquí a, b, c, d, e y f son expresiones algebraicas de las incógnitas del sistema

Ejemplo

Intentamos resolver: 4x+3y= 7

2x-y= 1

La primera ecuación se puede reescribir de la forma: 2.(2x)+3y=7

Por otra parte, de la segunda ecuación del sistema se deduce que: 2x=1+y

Sustituyendo 2x por 1+y en 2. (2x) +3y=7

Se tiene que 2. (1+y) +3y=7

Que es una ecuación con una sola incógnita y cuya solución es y=1.

Sustituyendo y por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida obtenemos una ecuación de una sola incógnita.

4+3y=7

Cuya solución es x=1

REGLA DE CRAMER

Esta regla es un método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales que se pueden utilizar cuando la matriz determinante A de coeficientes del sistema es cuadrada y de determinante de valor no nulo. El que A sea cuadrada significa que el número de incógnitas y el número de ecuaciones coincide.

En general: Xr = [Ai / | A |

Donde Ai es la matriz que se obtiene sustituyendo i décima columna de A por la matriz de los términos independientes B.

Ejemplo

Consideremos el sistema de ecuaciones:

x+y=2

x-y=0

En este sistema de ecuaciones lineales, la matriz A de los coeficientes es un matriz cuadrada y |A| = 1 1

[1 1 ] = -2 =/ 0.

Por lo tanto, podemos aplicar la regla de Cramer para resolver:

2 1

X= 0 -1 = -2 = 1

|A| -2

Y= 1 2

1 0 = -2 = 1

|A| -2