2.3 Método de aproximaciones sucesivas

 El método de las aproximaciones sucesivas es uno de los procedimientos más importantes para obtener raíces de las ecuaciones no lineales. Supongamos la ecuación

                    ƒ(x)= 0   

 Donde:

f(x): es una función continua que se desea determinar sus raíces reales.

Luego se sustituye f(x) por la ecuación equivalente        x = G(x)

Se estima el valor aproximado de la raíz x₀, y se sustituye en el segundo miembro de la ecuación para obtener x₁.                        x₁ = G(x₀)

Poniendo x₁ como argumento de G(x), obtendremos un nuevo número x₂, y así sucesivamente. Este proceso se puede sintetizar en la fórmula.

                                  x_n = G(x_n-1)   …(1)                 (n = 1,2,3…)

Si esta secuencia es convergente es decir, tiende hacia un límite, la solución r es:         r = lim_nà∞  x_n

El método de iteración se explica geométricamente mediante el gráfico de la figura. Se dibuja la curva y = G(x), y la recta y = x, bisectriz del primer cuadrante. La abscisa r del punto de intersección es la raíz buscada.

      La condición de finalización;

Primero, introducimos el valor inicial x, la primera aproximación, calculamos el valor del coseno de x, el valor devuelto (segunda aproximación), lo guardamos de nuevo en la variable x, y repetimos el proceso indefinidamente. El código aunque correcto, necesita terminarse en algún momento, cumpliendo una determinada condición. Cuando el valor absoluto del cociente entre la diferencia de dos términos consecutivos de la sucesión y uno de los términos, sea menor que cierta cantidad.                              

Volvemos a escribir el código incluyendo la condición de terminación y dentro de una función denominada raíz, a la que se le pasa el valor inicial y que devuelve la raíz buscada.

 

 El criterio de convergencia:

No todas las ecuaciones pueden resolverse por este método, solamente si el valor absoluto de la derivada de la función G(x) en la vecindad de la raíz r es menor que la unidad (la pendiente de la recta bisectriz del primer cuadrante es uno).