3.3 Iteración y convergencia de sistemas de ecuaciones

 En general, en todos los procesos iterativos para resolver el sistema Ax=b se recurre a una cierta matriz Q, llamada matriz descomposición, escogida de tal forma que el problema original adopte la forma equivalente:    Qx = (Q-A)x+b
La ecuación sugiere un proceso iterativo que se concreta al escribir:    

El vector inicial x (0) puede ser arbitrario, aunque si se dispone de un buen candidato como solución éste es el que se debe emplear. La aproximación inicial que se adopta, a no ser que se disponga de una mejor, es la idénticamente nula . A partir de la ecuación se puede calcular una sucesión de vectores x (1) , x (2), .... Nuestro objetivo es escoger una matriz Q de manera que:  se pueda calcular fácilmente la sucesión [x (k) ].  la sucesión [x (k) ] converja rápidamente a la solución.
Como en todo método iterativo, deberemos especificar un criterio de convergencia y un número máximo de iteraciones M, para asegurar que el proceso se detiene si no se alcanza la convergencia. En este caso, puesto que x es un vector, emplearemos dos criterios de convergencia que se deberán satisfacer simultáneamente: 
El módulo del vector diferencia, , partido por el módulo del vector x, deberá ser menor que la convergencia deseada: 2. La diferencia relativa del mayor elemento en valor absoluto del vector x (k) , , deberá ser diez veces menor