3.1 Métodos iterativos

Un método iterativo para resolver un sistema de ecuaciones lineales Ax = b comienza con una aproximación inicial x (0), a partir de la cual se construye una sucesión {x (k)} k=0 de vectores que se espera converja a la solución exacta x = A−1b, es decir:

Considéranoslos métodos iterativos estacionarios donde la sucesión {x (k)} se construye de la forma

X (k+1) = Bx (k) + c, para cada k ≥ 0,

donde B ∈ Mn(R), se llama matriz de iteración y c ∈ R n un vector fijo.

Si denotamos por e (k) = x(k) − x el error en el paso k-´ésimo de la iteración, la condición

de convergencia, equivale a exigir que

En la práctica el proceso se va a detener en el valor mínimo de k tal que x(k) − x < ε, donde ε es una tolerancia fija dada previamente y k · k una norma vectorial seleccionada.

Desafortunadamente el error es tan inaccesible como lo es la solución del sistema, ya que utiliza esta ´ultima. Sin embargo, podemos calcular otra medida que nos permite observar que tan cerca esta la aproximación x (k) de la solución x, lo llamaremos residuo y está dado por

y simplemente es la cantidad por la que el vector x (k) deja de satisfacer el sistema Ax = b. Como el residuo es un vector, al igual que el error, puede ser medido con cualquier norma. También notemos que r (k) = 0 si y solo si e (k) = 0.

Ahora reescribiendo la ecuación del residuo de la forma, Ax (k) = b−r, luego la restamos a Ax = b, tenemos

Esto lo podemos hacer ya que el error es la distancia entre dos vectores la cual siempre es positiva. La ecuación Ae (k) = r (k), se llama ecuación residual, y dice que el error satisface el mismo conjunto de ecuaciones que x, cuando reemplazamos b por r (k)