1.5 método iterativo

 Método iterativo 

Un método iterativo; es un método que progresivamente va calculando aproximaciones a la solución de un problema. En Matemáticas, en un método iterativo se repite un mismo proceso de mejora sobre una solución aproximada: se espera que lo obtenido sea una solución mas aproximada que la inicial.

Método de Jacobi:

 Idea El método Jacobi es el método iterativo para resolver sistemas de ecuaciones lineales m´as simple y se aplica solo a sistemas cuadrados, es decir a sistemas con tantas incógnitas como ecuaciones. 1. Primero se determina la ecuaci´on de recurrencia. Para ello se ordenan las ecuaciones y las incógnitas. De la ecuación i se despeja la incógnita i. En notaci´on matricial se escribirse como: 

x = c + B x

donde x es el vector de incógnitas. 2. Se toma una aproximaci´on para las soluciones y a ´esta se le designa por xo 3. Se itera en el ciclo que cambia la aproximación 

xi+1 = c + Bxi

El Método de Gauss-Seidel:

 Idea El m´etodo de Gauss-Seidel es muy semejante al m´etodo de Jacobi. Mientras que en el de Jacobi se utiliza el valor de las incógnitas para determinar una nueva aproximaci´on, en el de Gauss-Seidel se va utilizando los valores de las incógnitas recién calculados en la misma iteraci´on, y no en la siguiente. Por ejemplo, en el m´etodo de Jacobi se obtiene en el primer calculo xi+1, pero este valor de x no se utiliza sino hasta la siguiente iteraci´on. En el m´etodo de Gauss-Seidel en lugar de eso se utiliza de xi+1 en lugar de xi en forma inmediata para calcular el valor de yi+1 de igual manera procede con las siguientes variables; siempre se utilizan las variables recién calculadas.

1.4 Software de computo numerico

 

1.4 Software de cómputo numérico

• Software de cómputo numérico.

El software numérico actual ofrece un panorama muy prometedor, ya que además de la calidad en los programas y la búsqueda de conectividad entre los diferentes sistemas, también se busca estandarizar algunos aspectos de la semántica.

•  Software comercial.

Entre los sistemas más relevantes tenemos:

Derive: sistema shareware para cómputo numérico y simbólico.

Lab View: Plataforma de cómputo numérico y simulación con énfasis en sistemas electrónicos empotrados, de gran importancia en la industria.

MAPLE: Sistema preferido en ambientes académicos y cuyo núcleo de procesamiento simbólico se incorpora en otros sistemas comerciales.

MathCAD: Editor de documentos que integra valiosas capacidades de cómputo numérico y de visualización.

Mathematica. Sofisticado y muy exitoso sistema de cómputo numérico y simbólico, con grandes capacidades de visualización.

MATLAB: Abreviación de "Matriz Laboratory", este es el sistema estándar en aplicaciones de ingeniería.

Scientific Workplace: Excelente editor científico de gran flexibilidad y que integra MAPLE como su núcleo de computación simbólica.

• Software de acceso libre.

Surf: software para visualización de geometría algebraica real.

Winplot: un programa sencillo pero muy versátil para graficar funciones matemáticas.

wxMasima: un paquete clásico para matemáticas numéricas y computación simbólica. Sistema basado en Lisp.

LINK

1.4 Software de computo numerico - tasks numerical methods (google.com)

1.3 Tipos de errores

 

Tipos de Errores

Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para representar las operaciones y cantidades matemáticas.

Estos incluyen de truncamiento que resultan de representar aproximadamente un procedimiento matemático exacto, y los errores de redondeo, que resultan de presentar aproximadamente números exactos.

• ERROR ABSOLUTO

Se define como la diferencia que existe entre el valor exacto y su valor calculado o redondeado.   El error absoluto no es negativo, debido a que la definición se dio en términos del valor absoluto.  Así pues, una suma (colección) de errores siempre se incrementa juntas, sin reducirse.

error Absoluto = | valor exacto – valor calculado|

εa=X−Xi

Cálculo del error absoluto

Para calcular el error absoluto de una medida es imprescindible conocer en primer lugar qué valor se considera como real. Por norma general ese valor es la media de los valores obtenidos al realizar un número n de mediciones en las mismas condiciones.

• ERROR RELATIVO.

Es el cociente (la división) entre el error absoluto y el valor exacto. Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Al igual que el error absoluto puede ser positivo o negativo (según lo sea el error absoluto) porque puede ser por exceso o por defecto. no tiene unidades.

 

Error Relativo =  |X – Xr|  / |X|

• ERROR POR REDONDEO

Error de redondeo. La casi totalidad de los números reales requieren, para su representación decimal, de una infinidad de dígitos. En la práctica, para su manejo sólo debe considerarse un número finito de dígitos en su representación, procediéndose a su determinación mediante un adecuado redondeo.

Los errores de redondeo se deben a que las computadoras sólo guardan un número finito de cifras significativas durante un cálculo. Las computadoras realizan esta función de maneras diferentes. Por ejemplo, si sólo se guardan siete cifras significativas, la computadora puede almacenar y usar “pi” como “pi” = 3.141592, omitiendo los términos restantes y generando un error de redondeo.

 

• ERROR POR TRUNCAMIENTO

Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar una aproximación en lugar de un procedimiento matemático exacto. Además para obtener conocimineto de las características  de estos errores se regresa a la formulación matemática usada ampliamente en los métodos numéricos para expresar Funciones en forma polinomial: Serie de Taylor

 

• ERROR SIGNIFICATIVO

Tener presente este tipo de error significa que el número de cifras significativas (es decir, que tengan sentido y sean válidas) es algunas veces menor de lo esperado. Ocurre con mayor frecuencia cuando se restan números casi iguales, pero también puede ocurrir cuando varios números de magnitud y signo diferentes se suman o cuando se emplea un divisor relativamente pequeño.

 

• ERROR PROPAGADO

Puede definirse como el error de salida provocado por un error en la entrada, suponiendo que todos los cálculos intermedios se efectúan exactamente (en particular, sin error de redondeo). Incluye la evaluación de funciones cuando el valor del dominio es aproximado, raíces de polinomios cuyos coeficientes se han redondeado o aproximado, etc. Por supuesto, en una situación realista todos los tipos de error pueden intervenir, de modo que la salida de un proceso contendrá el error propagado más los errores generados en el proceso.

xr denota un valor redondeado de x;

ƒr(t) indicará el valor redondeado de ƒ(t).

ƒ(tr) podría ser un número decimal infinito que debe o requeriría redondeo.

LINK

Tipos de Errores – Métodos Númericos (wordpress.com)